Доказы тэарэмы Піфагора

доказ

Спампаваць прэзентацыю

Доказ №1 (найпростае)

Квадрат, пабудаваны на гіпатэнузы прамавугольнага трохвугольніка, роўнавялікія суме квадратаў, пабудаваных на яго катэты.

Найпростае доказ тэарэмы атрымліваецца ў выпадку роўнабаковага прастакутнага трыкутніка. Верагодна, з яго і пачыналася тэарэма.

На самай справе, дастаткова проста паглядзець на мазаіку роўнабаковы прамавугольных трохвугольнікаў, каб пераканацца ў справядлівасці тэарэмы. Напрыклад, для ΔABC: Квадрат, пабудаваны на гіпатэнузе АС, змяшчае 4 зыходных трыкутніка, а квадраты, пабудаваныя на катэты, - па два. Тэарэма даказаная.

хай Т - прастакутны трыкутнік з катэтамі а, b і гіпатэнузай з (Мал. А). Дакажам, што з 2 = а 2 + Ь 2 .

пабудуем квадрат Q са бокам а + Ь (Мал. Б).На баках квадрата Q возьмем пункту А, У, З, Dтак, каб адрэзкі АВ, ВС, CD, DAадсякалі ад квадрата Qпрастакутныя трыкутнікі Т1, Т2, Т3, Т4 з катэтамі а і b. чатырохкутнік ABCD пазначым літарай Р. Пакажам, што Р - квадрат з бокам з.

усе трыкутнікі Т1, Т2, Т3, Т4 роўныя трыкутніку Т (Па двух катэты). Таму іх гіпатэнузы роўныя гіпатэнузе трыкутніка Т, т. е. адрэзку з. Дакажам, што ўсе куты гэтага чатырохкутніка прамыя.

хай a і b - велічыні вострых вуглоў трохвугольніка Т. Тады, як вам вядома, a + b = 90 °. Кут пры вяршыні А чатырохвугольніка Р разам з кутамі, роўнымі a і b, складае разгорнуты кут. таму a + b = 180 °. І так як a + b = 90 °, то g = 90 °. Сапраўды гэтак жа даводзіцца, што і астатнія куты чатырохвугольніка Р прамыя. Такім чынам, чатырохкутнік Р - квадрат з бокам з.

квадрат Q са бокам а + Ь складаецца з квадрата Р са бокам з і чатырох трыкутнікаў, роўных трыкутніку Т. Таму для іх плошчаў выконваецца роўнасць S (Q) = S (P) + 4S (T).

так як S (Q) = (a + b) 2 ; S (P) = c 2 і S (T) = ½a * b, то, падстаўляючы гэтыя выразы ў S (Q) = S (P) + 4S (T), атрымліваем роўнасць (A + b) 2 = c 2 + 4 * ½a * b. паколькі (A + b) 2 = a 2 + b 2 + 2 * a * b, то роўнасць (A + b) 2 = c 2 + 4 * ½a * b можна запісаць так: a 2 + b 2 + 2 * a * b = c 2 + 2 * a * b.

з роўнасці a 2 + b 2 + 2 * a * b = c 2 + 2 * a * b вынікае, што з 2 = а 2 + Ь 2 .

хай ΔАВС - дадзены прастакутны трыкутнік з прамым вуглом З. правядзем вышыню CD з вяршыні прамога вугла З.

Па вызначэнні косінуса кута(Косінуса вострага вугла прастакутнага трыкутніканазываецца стаўленне прылеглага катэта да гіпатэнузы)соsА = AD / AC = AC / AB. адсюль AB * AD = AC 2 . аналагічна соsВ = BD / BC = BC / AB. адсюль AB * BD = нд 2 . Складаючы атрыманыя роўнасці почленно і заўважаючы, штоAD + DB = AB, атрымаем: АС 2 + нд 2 = АВ (AD + DB) = АВ 2 . Тэарэма даказаная.

Плошчу прастакутнага трыкутніка:S = ½ * a * b або S = ½ (p * r) (Для адвольнага трыкутніка);

p - полупериметр трохвугольніка; r - радыус упісанай у яго акружнасці.

r = ½ * (a + b - c) - радыус упісанай ў любой трохкутнік акружнасці.

a 2 + b 2 - c 2 = 0, значыць

дадзена:ΔАВС - прастакутны трыкутнікAJ - вышыня, апушчаная на гіпатэнузуBCED - квадрат на гіпатэнузеABFH і ACKJ - квадраты пабудаваныя на катэты.


Доказы тэарэмы Піфагора

Калі гаворка ідзе пра тэарэме Піфагора, незвычайнае пачынаецца ўжо з яе назвы. Лічыцца, што сфармуляваў яе ўпершыню зусім не Піфагор. Сумніўным мяркуюць і тое, што ён даў яе доказ. Калі Піфагор - рэальнае твар (некаторыя сумняюцца нават у гэтым!), Дык жыў, хутчэй за ўсё, у VI-V ст. да н. э. Сам ён нічога не пісаў, называў сябе філосафам, што значыла, у яго разуменні, «які імкнецца да мудрасці», заснаваў, Піфагора саюз, члены якога займаліся музыкай, гімнастыкай, матэматыкай, фізікай і астраноміяй. Па-відаць, быў ён і пышным аратарам, пра што сведчыць наступная легенда, што адносіцца да знаходжанні яго ў горадзе Кротоне: «Першае з'яўленне Піфагора перад народам у Кротоне пачалося прамовай да юнакоў, у якой ён так строга, але разам з тым і з такім захапленнем выклаў абавязкі юнакоў, што старое ў горадзе прасілі не пакінуць і іх без павучанні. У гэтай другой прамове ён паказваў на законнасць і на чысціню нораваў, як на асновы сямейства; ў наступных двух ён звярнуўся да дзяцей і жанчынам. Наступствам апошняй прамовы, у якой ён асабліва асуджаў раскоша, было тое, што ў храм Геры дастаўлены былі тысячы каштоўных сукенак, бо ні адна жанчына не вырашаўся больш паказвацца ў іх на вуліцы. »Тым не менш яшчэ ў другім стагоддзі нашай эры, т. Е. Праз 700 гадоў, жылі і тварылі цалкам рэальныя людзі, выдатныя навукоўцы, якія знаходзіліся відавочна пад уплывам, Піфагора саюза і якія адносяцца з вялікай павагай да таго, што згодна з легендай стварыў Піфагор.

Несумнеўна таксама, што цікавасць да тэарэме выклікаецца і тым, што яна займае ў матэматыцы адно з цэнтральных месцаў, і задавальненнем аўтараў доказаў, якія перасягнулі цяжкасці, пра якія добра сказаў жыў да нашай эры рымскі паэт Квінт Гарацый Флакк: «Цяжка добра выказаць агульнавядомыя факты» .

Першапачаткова тэарэма ўсталёўвала суадносіны паміж плошчамі квадратаў, пабудаваных на гіпатэнузе і катэты прастакутнага трыкутніка:

У прамавугольным трохвугольніку квадрат даўжыні гіпатэнузы роўны суме квадратаў даўжынь катэт..

Алгебраічная фармулёўка:

У прамавугольным трохвугольніку квадрат даўжыні гіпатэнузы роўны суме квадратаў даўжынь катэт.

Гэта значыць, пазначыўшы даўжыню гіпатэнузы трыкутніка праз c, а даўжыні катэт праз a і b: a 2 + b 2 = c 2. Абедзве фармулёўкі тэарэмы эквівалентныя, але другая фармулёўка больш элементарна, яна не патрабуе паняцці плошчы. Гэта значыць другое зацвярджэнне можна праверыць, нічога не ведаючы пра плошчу і вымераўшы толькі даўжыні бакоў прастакутнага трыкутніка.

Зваротная тэарэма Піфагора. Для ўсякай тройкі станоўчых лікаў a, b і c, такі, што

a 2 + b 2 = c 2, існуе прастакутны трыкутнік з катэтамі a і b і гіпатэнузай c.

На дадзены момант у навуковай літаратуры зафіксавана 367 доказаў дадзенай тэарэмы. Верагодна, тэарэма Піфагора з'яўляецца адзінай тэарэмай са гэтак вялікім лікам доказаў. Такое разнастайнасць можна растлумачыць толькі фундаментальным значэннем тэарэмы для геаметрыі.

Зразумела, канцэптуальна усе іх можна разбіць на малое колькасць класаў. Самыя вядомыя з іх: доказы метадам плошчаў, аксиоматические і экзатычныя доказы (напрыклад з дапамогай дыферэнцыяльных раўнанняў).

Праз падобныя трыкутнікі

Наступнае доказ алгебраічнай фармулёўкі - найбольш простае з доказаў, якія будуюцца напрамую з аксіём. У прыватнасці, яно не выкарыстоўвае паняцце плошчы фігуры.

Хай ABC ёсць прастакутны трыкутнік з прамым вуглом C. Зробім вышыню з C і абазначым яе падстава праз H. Трыкутнік ACH падобны трыкутніку ABC па двух кутах. Аналагічна, трохкутнік CBH падобны да ABC. увёўшы абазначэння

Доказы метадам плошчаў

Ніжэй прыведзеныя доказы, нягледзячы на ​​іх ўяўную прастату, зусім не такія простыя. Усе яны выкарыстоўваюць ўласцівасці плошчы, доказы якіх складаней доказы самой тэарэмы Піфагора.

Доказ праз равнодополняемость

1. Размесцім чатыры роўных прастакутных трыкутніка так, як паказана на малюнку.

2. чатырохвугольніка з бакамі c з'яўляецца квадратам, так як сума двух вострых кутоў 90 °, а разгорнуты кут - 180 °.

3. Плошча ўсёй фігуры роўная, з аднаго боку, плошчы квадрата з бокам (a + b), а з другога боку, суме плошчаў чатырох трыкутнікаў і ўнутранага квадрата.

Што і патрабавалася даказаць.

Доказы праз равносоставленность

Прыклад аднаго з такіх доказаў паказаны на чарцяжы справа, дзе квадрат, пабудаваны на гіпатэнузе, перастановай пераўтворыцца ў два квадрата, пабудаваных на катэты.

Ідэя доказы Еўкліда складаецца ў наступным: паспрабуем даказаць, што палова плошчы квадрата, пабудаванага на гіпатэнузы, роўная суме палоў плошчаў квадратаў, пабудаваных на катэты, а тады і плошчы вялікага і двух малых квадратаў роўныя. Разгледзім чарцёж злева. На ім мы пабудавалі квадраты на баках прамавугольнага трохвугольніка і правялі з вяршыні прамога вугла З прамень s перпендыкулярна гіпатэнузе AB, ён рассякае квадрат ABIK, пабудаваны на гіпатэнузе, на два прамавугольніка - BHJI і HAKJ адпаведна. Аказваецца, што плошчы дадзеных прастакутнікаў ў дакладнасці роўныя плошчах квадратаў, пабудаваных на адпаведных катэты. Паспрабуем даказаць, што плошча квадрата DECA роўная плошчы прамавугольніка AHJK Для гэтага скарыстаемся дапаможным наглядам: Плошча трохвугольніка з той жа вышынёй і падставай, што і дадзены прастакутнік, роўная палове плошчы зададзенага прамавугольніка. Гэта следства вызначэння плошчы трохвугольніка як паловы творы падставы на вышыню. З гэтага назірання выцякае, што плошча трохвугольніка ACK роўная плошчы трохвугольніка AHK (не намаляванага на малюнку), якая, у сваю чаргу, роўная палове плошчы прамавугольніка AHJK. Дакажам цяпер, што плошча трохвугольніка ACK таксама роўная палове плошчы квадрата DECA. Адзінае, што неабходна для гэтага зрабіць, - гэта даказаць роўнасць трыкутнікаў ACK і BDA (так як плошча трохвугольніка BDA роўная палове плошчы квадрата па паказаным вышэй ўласцівасці). Роўнасць гэта відавочна, трыкутнікі роўныя па двух баках і куту паміж імі. Менавіта - AB = AK, AD = AC - роўнасць кутоў CAK і BAD лёгка даказаць метадам руху: повернём трохкутнік CAK на 90 ° супраць гадзінны стрэлкі, тады відавочна, што адпаведныя боку двух разгляданых трыкутнікаў супадуць (з прычыны таго, што кут пры вяршыні квадрата - 90 °). Разважанне аб роўнасці плошчаў квадрата BCFG і прамавугольніка BHJI зусім аналагічна. Тым самым мы даказалі, што плошча квадрата, пабудаванага на гіпатэнузы, складаецца з плошчаў квадратаў, пабудаваных на катэты.

Доказ Леанарда да Вінчы

Галоўныя элементы доказы - сіметрыя і рух.

Внимание, только СЕГОДНЯ!
"
"