Решить 1/рn 4 20/pn 2

One more step

Please complete the security check to access znanija.com

Why do I have to complete a CAPTCHA?

Completing the CAPTCHA proves you are a human and gives you temporary access to the web property.

What can I do to prevent this in the future?

If you are on a personal connection, like at home, you can run an anti-virus scan on your device to make sure it is not infected with malware.

If you are at an office or shared network, you can ask the network administrator to run a scan across the network looking for misconfigured or infected devices.

Cloudflare Ray ID: 3bef1987321e9804 • Your IP : 5.189.137.82 • Performance & security by Cloudflare


Повторение независимых испытаний. Формулы Бернулли, Лапласа и Пуассона

Рассмотрим ситуацию, в которой одно и тоже испытание повторяется многократно и исход каждого испытания независим от исходов других.

Пусть некоторый опыт (испытание) повторяется n раз. Будем считать, что вероятность осуществления события A, связанного с данным опытом, при каждом повторении опыта остается неизменной и равна p (0<р9lt;1). Тогда вероятность того, что событие A не осуществится, также будет неизменной и равной q = 1 – p. Такая последовательность проведения одного и того же опыта называется последовательностью (повторением) независимых испытаний.

Независимость понимается в том смысле, что вероятность осуществления события A в любом по номеру повторении опыта не зависит от результатов опыта при всех других повторениях. Найдем вероятность Pn(k) того, что событие A в n испытаниях произойдет k раз.

1. Формула Бернулли. Примеры применения формулы Бернулли

Вероятность того, что в серии из n независимых испытаний событие А наступит ровно k раз (безразлично в какой последовательности) находят по формуле Бернулли, если n является достаточно небольшим значением:

Pn(k) = Сn k p k q n-k , где Сn k = n! / k!(n-k)! – число сочетаний из n по k, р – вероятность события А, q – вероятность противоположного события Ā.

В различных задачах приходится находить следующие вероятности:

  • вероятность того, что в n испытаниях событие А наступит менее m раз: Рn(k<m) = Рn(0)+ Рn(1)+…+Рn(m-1);
  • вероятность того, что в n испытаниях событие А наступит более m раз: Рn(k>m) = Рn(m+1)+ Рn(m+2)+…+ Рn(n);
  • вероятность того, что в n испытаниях событие А наступит не более m раз: Рn(k≤m) = Рn(0)+ Рn(1)+…+Рn(m);
  • вероятность того, что в n испытаниях событие А наступит не менее m раз: Рn(k≥m) = Рn(m)+ Рn(m+1)+…+ Рn(n);
  • вероятность того, что в n испытаниях событие А наступит не менее k1 и не более k2 раз: Рn(k1≤k≤k2) = Рn(k1)+…+Рn(k2).

Монету подбрасывают 10 раз. Какова вероятность того, что при десятикратном подбрасывании монеты герб выпадет 3 раза?

Решение. Число испытаний n=10 невелико, поэтому вероятность можно вычислить непосредственно по формуле Бернулли:

P10(3) = 120*(1/2) 3 *(1/2) 7 =120*1/2 10 =120/1024=15/128≈0,117

В семье пять детей. Найти вероятность того, что среди этих детей: а) ровно две девочки; б) не более двух девочек; в) более двух девочек; г) не менее двух и не более трех девочек. Вероятность рождения девочки принять равной 0,48.

Решение. Число испытаний n=5 невелико, поэтому вероятность можно вычислить непосредственно по формуле Бернулли:

б) вероятность того, что среди пяти детей не более двух девочек, равна Р5(k≤2) = Р5(0)+Р5(1)+Р5(2).

г) вероятность того, что среди пяти детей не менее двух, но не более трех девочек, равна Р5(2≤k≤3)= Р5(2)+Р5(3),

2. Приближенные формулы Лапласа и Пуассона. Пример применения локальной формулы Лапласа

Если число испытаний n велико, а вероятность р не очень мала, то вероятность того, что событие А наступит ровно k раз находят по локальной формуле Лапласа (Муавра-Лапласа):

В приложении приведены значения функции &#&81;(x) (таблица 1). При x>5 полагают &#&81;(x)≈0, для отрицательных значений x пользуются тем, что функция &#&81;(x) четная, и, следовательно, &#&81;(− x) = &#&81;(x).

Вероятность того, что событие А появится в n испытаниях не менее k1 и не более k2 раз находится по интегральной формуле Лапласа:

В приложении приведены значения функции Лапласа &#&34;(x) (таблица 2). При x>5 полагают &#&34;(x)≈0,5, для отрицательных значений x пользуются тем, что функция &#&34;(x) нечетная, и, следовательно, &#&34;(− x) = −&#&34;(x).

Если число испытаний n велико, а вероятность p появления события А в каждом испытании очень мала, то вероятность того, что это событие наступит ровно k раз находят по приближенной формуле Пуассона:

Обозначив &#&55; = np – среднее число успехов в серии испытаний, получим

В приложении можно определить значение p(k;&#&55;) по заданным k и &#&55; (таблица 3).

Вероятность появления события А в каждом их 2400 независимых испытаний постоянна и равна 0,6. Найти вероятность того, что это событие наступит ровно 1400 раз.

Решение. Число испытаний n=2400 велико, р=0,6 не очень мала, поэтому воспользуемся локальной формулой Лапласа.

Далее имеем: q=1-0,6=0,4, k=1400, np=2400*0,6=1440, npq=2400*0,6*0,4=576, х=(k-np)/√npq = (1400-1440)/√576 = (-40)/24≈-1,67.

Поскольку функция &#&81;(x) четная, то &#&81;(−1,67) = &#&81;(1,67). По таблице 1 из приложения находим &#&81;(1,67)≈0,0989. По приближенной локальной формуле Лапласа находим вероятность Р2400(1400)≈(1/24)* &#&81;(1,67)≈0,0989/24≈0,0041.

3. Наивероятнейшее число успехов. Пример решения задачи

Число k0 называется наивероятнейшим, если вероятность Рn(k0) того, то событие A наступит в n испытаниях ровно k0 раз, является наибольшей из всех вероятностей Pn(k), k = 0, 1, …, n. Наивероятнейшее число k0 определяется из двойного неравенства:

Сколько надо произвести независимых испытаний с вероятностью появления события в каждом испытании, равной 0,4, чтобы наивероятнейшее число появлений события в этих испытаниях было равно 20?

Решение. По условию k0=20, р=0,4, q=1-р=0,6. Воспользуемся двойным неравенством, из которого определяется наивероятнейшее число k0: np−q≤k0≤np+p. Подставляя данные задачи, получим неравенство 0,4n−0,6≤20≤0,4n+0,4.

Решаем отдельно каждое неравенство, входящее в данное двойное неравенство:

Окончательно имеем: 49 ≤ n ≤ 51,5, т.е. n может быть равно 49, 50, 51.

Ответ. Искомое число испытаний должно быть равно 49 или 50 или 51.

Другие статьи по данной теме:

Список использованных источников

  1. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике / М. - "Высшая школа", 2004;
  2. Лисьев В.П. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие/ Московский государственный университет экономики, статистики и информатики. – М., 2006;
  3. Семёнычев В. К. Теория вероятности и математическая статистика: Лекции /Самара, 2007;
  4. Теория вероятностей: контрольные работы и метод. указания для студентов / сост. Л.В. Рудная и др. / УрГЭУ - Екатеринбург, 2008.

2012-2015 © Лана Забродская (в Google+). При копировании материалов сайта ссылка на источник обязательна

Внимание, только СЕГОДНЯ!
"
"